Question

已知函数f（x）=

x2

ax+lnx

（a∈R），g（x）=x-lnx．
（1）当a=0时，求f（x）在（1，+∞）上的最小值；
（2）若y=f（x）与y=g（x）的图象恰有三个不同的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜x₂＜x₃）．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：（f（x₁））²f（x₂）f（x₃）=x₁²x₂x₃．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=0代入函数解析式，求导后得到导函数的零点，列表判断函数在不同区间内的单调性，从而求得
f（x）在（1，+∞）上的最小值；
（2）（i）由f（x）=g（x），分离参数得到a=

x

x-lnx

-

lnx

x

，令h(x)=

x

x-lnx

-

lnx

x

．求导后得其极值点，求得函数极值，则使y=f（x）与y=g（x）的图象恰有三个不同的交点的实数a的取值范围可求；
（ii）由a=

x

x-lnx

-

lnx

x

=

1

1- lnx x

-

lnx

x

，令u=

lnx

x

，转化为关于u的方程后由根与系数关系得到u₁+u₂=1-a＜0，u₁u₂=1-a＜0，最后由

(f(x1))2f(x2)f(x3)

x12x2x3

=1证得答案．

解答： （1）解：当a=0时，f（x）=

x2

ax+lnx

=

x2

lnx

，
得f′(x)=

x(2lnx-1)

(lnx)2

=0，
∵x∈（1，+∞），
∴x=

e

．
列表：

	（1， e ）	e	( e ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

∴当a=0时，f（x）在（1，+∞）上的最小值为f(

e

)=2e；
（2）（i）解：由

x2

ax+lnx

=x-lnx（x＞0，ax+lnx≠0），
分离参数得a=

x

x-lnx

-

lnx

x

，令h(x)=

x

x-lnx

-

lnx

x

．
由h′(x)=

1-lnx

(x-lnx)2

-

1-lnx

x2

=

lnx(1-lnx)(2x-lnx)

x2(x-lnx)2

=0，
得x=1或x=e．
列表：

	（0，1）	（1，e）	（e，+∞）
h′（x）	-	+	-
h（x）	减函数	增函数	减函数

而x→0，h（x）→+∞，h（1）=1，h(e)=1+

1

e(e-1)

，x→+∞，h（x）→1．
结合函数的单调性可得，实数a的取值范围为(1，1+

1

e(e-1)

)；
（ii）证明：由（i）知0＜x₁＜1＜x₂＜e＜x₃，
a=

x

x-lnx

-

lnx

x

=

1

1- lnx x

-

lnx

x

，令u=

lnx

x

，
则a=

1

1-u

-u，即u²+（a-1）u+1-a=0，
u₁+u₂=1-a＜0，u₁u₂=1-a＜0，画u=

lnx

x

图象．
不妨设u₁＜u₂，则u1=

lnx1

x1

，u2=

lnx2

x2

=

lnx3

x3

，

(f(x1))2f(x2)f(x3)

x12x2x3

=

(g(x1))2g(x2)g(x3)

x12x2x3

=(

x1-lnx1

x1

)2

x2-lnx2

x2

x3-lnx3

x3

=(1-

lnx1

x1

)(1-

lnx2

x2

)(1-

lnx3

x3

)=(1-u1)2(1-u2)(1-u3)=[(1-u1)(1-u2)]2
=[1-(u1+u2)+u1u2]2=[1-(1-a)+(1-a)]2=1．
故：（f（x₁））²f（x₂）f（x₃）=x₁²x₂x₃．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法、换元法、函数构造法等数学转化思想方法，是压轴题．