Question

8．已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，其左焦点、上顶点和左顶点分别为F，A，B，坐标原点为O，且线段FO，OA，AB的长度成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若过点F的一条直线l交椭圆于点M，N，交y轴于点P，使得线段MN被点F，P三等分，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意有$c+\sqrt{{a^2}+{b^2}}=2b$，将其变形可得b=2c，结合椭圆的几何性质以及离心率公式可得$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{{\sqrt{{b^2}+{c^2}}}}$，计算可得答案；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+c），当k＞0时，表示出k和x_M、y_M，将直线l的方程和椭圆方程联立，解可得x_M、y_M的值，由斜率公式计算可得k的值，同理分析k＜0时可得k的值，综合可得答案．

解答 解：（Ⅰ）依题意有$c+\sqrt{{a^2}+{b^2}}=2b$，
把上式移项平方并把a²=b²+c²，代入得b=2c，
又由a²=b²+c²；
所以椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{{\sqrt{{b^2}+{c^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+c），
先研究k＞0的情况，要使|MF|=|FP|，
则x_M=-2c，${y_M}=-b•\sqrt{1-\frac{{{x_M}^2}}{a^2}}=-\frac{b}{{\sqrt{5}}}$，
因此$k=\frac{{0-（-\frac{b}{{\sqrt{5}}}）}}{-c-（-2c）}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
将直线l的方程和椭圆方程联立可得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}（x+c）\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_M}=-2c\\{x_N}=c\end{array}\right.$
由于点N的横坐标为c，因此|PN|也等于|PF|，
同理，当k＜0时，由对称性可知k=$-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$；
直线l的斜率为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$或$-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是依据题意，求出椭圆的标准方程．