Question

某知名保健品企业新研发了一种健康饮品，已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶，最少1千瓶，经检测在生产过程中该饮品的正品率P与每日生产产品瓶数x（x∈N^*，单位：千瓶）间的关系为P=

4200-x2

4500

，每生产一瓶饮品盈利4元，每出现一瓶次品亏损2元（注：正品率=饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%）
（Ⅰ）将日利润y（元）表示成日产量x的函数；
（Ⅱ）求该种饮品日利润的最大值．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意得，y=[x•

4200-x2

4500

4-2x（1-

4200-x2

4500

）]×1000化简即可；
（Ⅱ）求导y′=

2

4500

×1000×（-3）（x²-2700），从而确定在1≤x≤40上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，
y=[x•

4200-x2

4500

4-2x（1-

4200-x2

4500

）]×1000
=2000x

8100-x2

4500

；（x∈N^*，x≤40）
（Ⅱ）∵y′=

2

4500

×1000×（-3）（x²-2700），
∵1≤x≤40，
故y=2x

8100-x2

4500

在定义域上是增函数，
故当x=40时，日利润最大，
即该种饮品日利润的最大值为2×40×

13

9

×1000=

1040000

9

（元）．

点评：本题考查了实际问题转化为数学问题能力及导数的应用，属于中档题．