Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形， ， ， ， 分别为线段， 的中点.

（1）证明： 平面；

（2）若平面， ，求四面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由线面平行的判定定理证明得到；（2）以为底面，点F到的距离为高，由于F为PB 的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，算出体积。

试题解析：（1）证明：连接、， 交于点，

∵为线段的中点， ， ，∴

∴四边形为平行四边形，

∴为的中点，又是的中点，

∴，

又平面， 平面，

∴平面.

（2）解法一：由（1）知，四边形为平行四边形，∴ ，

∵四边形为等腰梯形， ， ，

∴，∴三角形是等边三角形，∴，

做于，则，

∵平面， 平面，∴平面平面，

又平面平面， ， 平面，

∴平面，∴点到平面的距离为，

又∵为线段的中点，∴点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，又，

∴ .

解法二： ， 平面， 平面，∴平面，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离，

做于点，由，知三角形是等边三角形，∴，

∵平面， 平面，∴平面平面，

又平面平面， ， 平面，

∴平面，∴点到平面的距离为，

又为线段的中点，∴ ，

∴ .