题目内容
已知函数f（x）=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B，
=2
+2
（
，
分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量），函数g（x）=x2-x-6．
（1）求k、b的值；
（2）若af（x）-g（x）≤1对于任意的x∈（-2，4）恒成立，求a的取值范围．
| AB |
| i |
| j |
| i |
| j |
（1）求k、b的值；
（2）若af（x）-g（x）≤1对于任意的x∈（-2，4）恒成立，求a的取值范围．
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：（1）由直线与坐标轴的交点求得A，B的坐标，进一步得到
的坐标，由坐标相等列式求得k，b的值；
（2）根据x的范围求得f（x）的范围，把af（x）-g（x）≤1转化为a≤
，利用基本不等式求最值后得答案．
| AB |
（2）根据x的范围求得f（x）的范围，把af（x）-g（x）≤1转化为a≤
| g(x)+1 |
| f(x) |
解答：
解：（1）由已知得A（-
，0），B（0，b），
则
=（
，b），
又
=2
+2
，
于是
=2，b=2．
∴k=1，b=2；
（2）f（x）=x+2，当x∈（-2，4）时，x+2＞0，
则af（x）-g（x）≤1对于任意的x∈（-2，4）恒成立等价于：
a≤
恒成立，
∵
=
=x+2+
-5，
∴当-2＜x＜4时0＜x+2＜6，
≥-3，
其中当且仅当x+2=1，即x=-1时等号成立．
∴
的最小值是-3．
∴a的取值范围为（-∞，-3]．
| b |
| k |
则
| AB |
| b |
| k |
又
| AB |
| i |
| j |
于是
| b |
| k |
∴k=1，b=2；
（2）f（x）=x+2，当x∈（-2，4）时，x+2＞0，
则af（x）-g（x）≤1对于任意的x∈（-2，4）恒成立等价于：
a≤
| g(x)+1 |
| f(x) |
∵
| g(x)+1 |
| f(x) |
| x2-x-5 |
| x+2 |
| 1 |
| x+2 |
∴当-2＜x＜4时0＜x+2＜6，
| g(x)+1 |
| f(x) |
其中当且仅当x+2=1，即x=-1时等号成立．
∴
| g(x)+1 |
| f(x) |
∴a的取值范围为（-∞，-3]．
点评：本题考查了平面向量的应用，考查了分离变量法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
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