Question

9．设函数f（x）=|x+1|+|x-4|-a
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）+$\frac{12}{a}$≥1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；
（2）f（x）+$\frac{12}{a}$≥1对任意的实数x恒成立?5-a+$\frac{12}{a}$≥1对任意的实数x恒成立，可求a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-4|-1≥|（x+1）-（x-4）|-1=5-1=4．
所以函数f（x）的值域为[4，+∞）．------（5分）
（2）f（x）+$\frac{12}{a}$≥1对任意的实数x恒成立?5-a+$\frac{12}{a}$≥1对任意的实数x恒成立
∴$\frac{{a}^{2}-4a-12}{a}$≤0-------（8分）
∴a≤-2或0＜a≤6
综上，实数a的取值范围为（-∞，-2]∪（0，6]．-------（12分）

点评 本题考查绝对值函数以及恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决．