Question

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n+1）S_n=（n-1）a_n+1+2n+2，n∈N^*，a₂=8．
（1）求a₁，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设b_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}}$-$\frac{{2}^{2n+5}}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$，数列{b_n}的前n和为T_n．
①求T_n；
②求正整数k，使得对任意n∈N^*，均有T_n≤T_K．

Answer 1

分析 （1）通过（n+1）S_n=（n-1）a_n+1+2n+2及a₂=8代入计算即得结论；
（2）通过对（n+1）S_n=（n-1）a_n+1+2n+2变形可知S_n=$\frac{n-1}{n+1}$•a_n+2，利用a_n=S_n-S_n-1计算、整理可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2•$\frac{n+1}{n}$（n≥2），利用累乘法计算可知a_n=n•2ⁿ（n≥2），进而可得结论；
（3）①通过（2）、裂项可知b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$-4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），利用错位相减法计算可知P_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用并项法相加计算可知Q_n=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=2-$\frac{4}{n+2}$，利用T_n=P_n-Q_n计算即得结论；②通过①可知T_n=$\frac{4}{n+2}$-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，通过计算可知当n≤5时T_n＜T₆、当n≥7时，T_n＜T₆，进而可得结论．

解答 解：（1）依题意，当n=1时，2a₁=2+2，即a₁=2，
当n=2时，3S₂=a₃+6，
又∵a₁=2，a₂=8，
∴a₃=3（a₁+a₂）=24；
（2）∵（n+1）S_n=（n-1）a_n+1+2n+2，
∴S_n=$\frac{n-1}{n+1}$•a_n+2，
∴a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{n-1}{n+1}$•a_n+2）-（$\frac{n-2}{n}$•a_n-1+2）=$\frac{n-1}{n+1}$•a_n-$\frac{n-2}{n}$•a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2•$\frac{n+1}{n}$（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2•\frac{n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=2•\frac{n-1}{n-2}$，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=2•\frac{3}{2}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=2^n-2•$\frac{n}{2}$，
又∵a₂=8，
∴a_n=n•2ⁿ（n≥2），
又∵a₁=2满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n•2ⁿ；
（3）①由（2）可知b_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}}$-$\frac{{2}^{2n+5}}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=$\frac{{n}^{2}}{n•{2}^{n}}$-$\frac{{2}^{2n+5}}{（n+1）（n+2）•{2}^{n+1+n+2}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$-4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
记P_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，则$\frac{1}{2}$P_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$P_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴P_n=1•$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$n•\frac{1}{{2}^{n}}$=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
记Q_n=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=2-$\frac{4}{n+2}$，
∴数列{b_n}的前n和为T_n=P_n-Q_n=[2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$]-（2-$\frac{4}{n+2}$）=$\frac{4}{n+2}$-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$；
②由①可知T_n=$\frac{4}{n+2}$-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T₁=$\frac{4}{3}$-3•$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{6}$，
T₂=1-4•$\frac{1}{4}$=0，
T₃=$\frac{4}{5}$-5•$\frac{1}{8}$=$\frac{7}{40}$，
T₄=$\frac{4}{6}$-6•$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{24}$，
T₅=$\frac{4}{7}$-7•$\frac{1}{32}$=$\frac{79}{224}$，
T₆=$\frac{4}{8}$-8•$\frac{1}{64}$=$\frac{3}{8}$，
T₇=$\frac{4}{9}$-9•$\frac{1}{128}$=$\frac{431}{1152}$，
易知当n≥7时，T_n≤$\frac{431}{1152}$＜T₆，
又∵当n≤5时T_n＜T₆，
∴k=6．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．