Question

19．求证：（1+$\frac{1}{3}$）²$•（1+\frac{1}{5}）$²…（1+$\frac{1}{2n+1}$）²＜n+1．

Answer 1

分析 运用数学归纳法证明，注意步骤，由n=k+1，运用n=k的结论，借助作差比较法，即可得到．

解答 证明：（数学归纳法）．
当n=1时，不等式左边=（1+$\frac{1}{3}$）²=$\frac{16}{9}$＜2=右边，不等式成立；
假设n=k时，（1+$\frac{1}{3}$）²$•（1+\frac{1}{5}）$²…（1+$\frac{1}{2k+1}$）²＜k+1．
当n=k+1时，（1+$\frac{1}{3}$）²$•（1+\frac{1}{5}）$²…•（1+$\frac{1}{2k+1}$）²•（1+$\frac{1}{2k+3}$）²
＜（k+1）•（1+$\frac{1}{2k+3}$）²
由（k+1）•（1+$\frac{1}{2k+3}$）²-（k+2）=$\frac{-（k+2）}{（2k+3）^{2}}$＜0，
可得（k+1）•（1+$\frac{1}{2k+3}$）²＜k+2．
则当n=k+1时，原不等式成立．
综上可得，（1+$\frac{1}{3}$）²$•（1+\frac{1}{5}）$²…（1+$\frac{1}{2n+1}$）²＜n+1．

点评 本题考查数列不等式的证明，考查数学归纳法的运用，考查推理运算能力，属于中档题．