题目内容
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，方程$\frac{27}{4}$x2+3（a+b+c）x+（a2+b2+c2）=0有两个相等实根，请判断△ABC的形状．分析 由已知可得△=0，从而化简解得∴（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，即可解得：a=b=c=0．
解答 解：∵方程$\frac{27}{4}$x2+3（a+b+c）x+（a2+b2+c2）=0有两个相等实根，
∴△=[3（a+b+c）]2-4×$\frac{27}{4}$×（a2+b2+c2）=9（a+b+c）2-27（a2+b2+c2）=0，
∴（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），
∴解得：ab+ac+bc=a2+b2+c2，
∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，
a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0，
∴（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，
∴a=b=c．
∴△ABC是等边三角形．
点评 本题主要考查了一元二次方程的解法，考查了三角形的形状判断，属于基本知识的考查．
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