题目内容
已知a，b是实数，求证：a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：简易逻辑
分析：根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．
解答：
解：充分性：
若a2-b2=1，则a4-b4-2b2=（a2-b2）（a2+b2）-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1成立．
必要性：
若a4-b4-2b2=1，则a4-b4-2b2-1=0，
即a4-（b4+2b2+1）=0，
∴a4-（b2+1）2=0，
∴（a2+b2+1）（a2-b2-1）=0，
∵a2+b2+1≠0，
∴a2-b2-1=0，
即a2-b2=1成立．
综上：a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1．
若a2-b2=1，则a4-b4-2b2=（a2-b2）（a2+b2）-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1成立．
必要性：
若a4-b4-2b2=1，则a4-b4-2b2-1=0，
即a4-（b4+2b2+1）=0，
∴a4-（b2+1）2=0，
∴（a2+b2+1）（a2-b2-1）=0，
∵a2+b2+1≠0，
∴a2-b2-1=0，
即a2-b2=1成立．
综上：a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1．
点评：本题主要考查充要条件的应用，根据定义要分别证明充分性和必要性都要成立．
练习册系列答案
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