Question

6．已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（　　）
（1）MN⊥AB；           
（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 结合图形，逐项分析，得出正确的选项．

解答 解：（1）连结MC，MD，由三角形三线合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，
∵MN?平面MCD，∴AB⊥MN，故（1）正确；
（2）取BD中点E，连结ME，NE，则∠NME为MN与AD所成角，
连结BN，由（1）知BM⊥MN，设正四面体棱长为1，则BM=$\frac{1}{2}$，BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
ME=NE=$\frac{1}{2}$，∴cos∠NME=$\frac{M{N}^{2}+M{E}^{2}-N{E}^{2}}{2MN•ME}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴∠NME=45°，故（2）不正确；
（3）由（1）知AB⊥平面CDM，∵AB?平面ABN，∴平面CDM⊥平面ABN，故（3）正确；
（4）取BC早点F，连结MF，DF，假设存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，
∴AC⊥MN，∵MF∥AC，∴MF⊥MN，
∵DF=DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠FMD＜90°，同理，∠CMF＜90°．
当N从D向C移动时，∠FMN先减小，后增大，故∠FMN＜90°，与MF⊥MN矛盾．
∴不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，故（4）正确．
故选：C．

点评 本题考查了正四面体的结构特征，结合图形构造平面是关键．