Question

若函数f（x）=2^x+a•2^-x在R上单调递增，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：求出函数的导数，由于f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，运用参数分离，结合指数函数的值域，即可得到．

解答： 解：函数f（x）=2^x+a•2^-x的导数为：
f′（x）=2^xln2+a•2^-xln2•（-1），
由于f（x）在R上单调递增，
则f′（x）≥0恒成立，
则2^xln2≥a•2^-xln2，
即有a≤4^x，
由于4^x＞0，则a≤0．
则a的取值范围是（-∞，0]．
故答案为：（-∞，0]．

点评：本题考查函数的单调性的判断，考查运用导数判断单调性，考查参数分离法，属于中档题和易错题．