Question

12．如图，设点A，B的坐标分别为（-$\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}$，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-$\frac{2}{3}$．
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意知$\frac{y}{x+\sqrt{3}}•\frac{y}{x-\sqrt{3}}=-\frac{2}{3}$（x$≠±\sqrt{3}$），可求P的轨迹方程；
（2）设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，利用k_OMk_ON=$\frac{2{t}^{2}-6}{3{t}^{2}-6{m}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，得2t²=2m²+3，即可证明结论．

解答 （1）解：由已知设点P的坐标为（x，y），由题意知$\frac{y}{x+\sqrt{3}}•\frac{y}{x-\sqrt{3}}=-\frac{2}{3}$（x$≠±\sqrt{3}$），
化简得P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$（x$≠±\sqrt{3}$）…（5分）
（2）证明：由题意M，N是椭圆C上非顶点的两点，且AP∥OM，BP∥ON，
则直线AP，BP斜率必存在且不为0，又由已知k_APk_BP=-$\frac{2}{3}$．
因为AP∥OM，BP∥ON，所以k_OMk_ON=-$\frac{2}{3}$…（6分）
设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，得（3+2m²）y²+4mty+2t²-6=0…①，…（7分）
设M，N的坐标分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{4mt}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{2{t}^{2}-6}{3+2{m}^{2}}$…（8分）
所以k_OMk_ON=$\frac{2{t}^{2}-6}{3{t}^{2}-6{m}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，得2t²=2m²+3…（10分）
又S_△MON=$\frac{1}{2}$|t||y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{6}|t|\sqrt{{t}^{2}}}{4{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即△MON的面积为定值$\frac{\sqrt{6}}{2}$…（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、面积的计算，属于中档题．