Question

7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F（1，0），其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（1）证明：点F在直线BD上；
（2）设$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=$\frac{8}{9}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设抛物线C：y²=2px，则点K（-1，0），$\frac{p}{2}$=1，由此能求出抛物线C的方程．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），l的方程为x=my-1（m≠0）．将x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，再由韦达定理能够证明点F（1，0）在直线BD上．
（2）由x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=1，知$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），所以$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=8-4m²，由此能够求直线l的方程．

解答 （1）证明：设抛物线C：y²=2px，则点K（-1，0），$\frac{p}{2}$=1
∴抛物线C的方程y²=4x．
设l的方程为x=my-1（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），
故$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$整理得y²-4my+4=0，故$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4m}\\{{y_1}{y_2}=4}\end{array}}\right.$，
则直线BD的方程为$y-{y_2}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（{x-{x_1}}）$即$y-{y_2}=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}（{x-\frac{y_2^2}{4}}）$，
令y=0，得$x=\frac{{{y_1}{y_2}}}{4}=1$，所以F（1，0）在直线BD上…（6分）
（2）解：由（1）可知$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4m}\\{{y_1}{y_2}=4}\end{array}}\right.$，所以${x_1}+{x_2}=（{m{y_1}-1}）+（{m{y_2}-1}）=4{m^2}-2，{x_1}•{x_2}=\frac{y_1^2y_2^2}{16}=1$，
又$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），
所以$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=8-4m²，
则$8-4{m^2}=\frac{8}{9}$，∴$m=±\frac{4}{3}$，故直线l的方程为3x+4y+3=0或3x-4y+3=0…（12分）

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．