Question

4．设a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$2cosxdx，则二项式（ax³-$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁶展开式中不含x³项的系数和是161．

Answer 1

分析 利用微积分基本定理可求得a，再求出二项式展开式中所有项的系数之和与含x³项的系数，二者作差即可．

解答 解：∵a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$2cosxdx=2sinx|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2，
则（2x³-$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁶其二项展开式的通项公式为T_r+1=（-1）^rC₆^r•（x³）^6-r•2^6-r•x^-2r=（-1）^rC₆^r•2^6-r•x^18-5r，
令18-5r=3得：r=3．
∴二项式（2x³-$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁶展开式中含x³项的系数为：-8×20=-160．
令x=1得二项式展开式中所有项的系数之和为：（2-1）⁶=1，
∴二项式展开式中不含x³项的系数和是1-（-160）=161．
故答案为：161．

点评 本题考查二项式定理与微积分基本定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查理解与运算的能力，属于中档题．