Question

14．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA₁=2，P为棱BB₁上的一个动点．
（1）求三棱锥C-PAA₁的体积；
（2）当A₁P+PC取得最小值时，求证：PD₁⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）由图可知，BC为三棱锥C-PAA₁的高，且三角形PAA₁的面积为定值，代入棱锥体积公式得答案；
（2）由剪展问题求出A₁P+PC取得最小值时的P的位置，然后证明PD₁⊥PA，PD₁⊥PC，再由线面垂直的判定可得PD₁⊥平面PAC．

解答 （1）解：在长方体中，BC⊥平面ABB₁A₁，∴C到平面PAA₁的距离为BC=1，
又${S_{△PA{A_1}}}=\frac{1}{2}\;•\;A{A_1}\;•\;AB=\frac{1}{2}×2×1=1$，
∴${V_{C-PA{A_1}}}=\frac{1}{3}{S_{△PA{A_1}}}\;•\;BC=\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$；
（2）证明：如图，

将侧面BCC₁B₁绕BB₁展开至与平面ABB₁A₁共面，当A₁，P，C′共线时，A₁P+PC′取得最小值．
∵在△A₁AC′中，为AC′中点，BP∥AA₁，∴P为BB₁的中点．
如图，连接PA，PC，AC，PD₁，AD₁，B₁D₁，
在Rt△PAB中，求得$PA=\sqrt{2}$，
在Rt△ADD₁中，求得$A{D_1}=\sqrt{5}$，
∵PB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴PB₁⊥B₁D₁，
在Rt△PB₁D₁中，PB₁=1，${B_1}{D_1}=\sqrt{2}$，得$P{D_1}=\sqrt{3}$，
∵在△APD₁中，$A{D_1}^2=P{A^2}+P{D_1}^2$，∴PD₁⊥PA．
同理可得PD₁⊥PC，又PC∩PA=P，
∴PD₁⊥平面PAC．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，考查多面体体积的求法，是中档题．