Question

8．设y=f（x）在区间[0，1]上是非负连续函数．
试证：存在x₀∈（0，1），使得在区间[0，x₀]上以f（x₀）为高的矩形面积等于在区间[x₀，1]上以y=f（x）为曲边的曲边梯形的面积．

Answer 1

分析 构造函数，则只需证明存在x∈（0，1）使得F（x）=0，用连续函数的介值定理求证即可．

解答 解：令函数f（x）=${∫}_{x}^{1}$f（t）dt-xf（x），则只需证明存在x∈（0，1）使得F（x）=0．
因为函数y=f（x）是区间[0，1]上的任一连续函数，所以，函数F（x）也是连续函数．
F（0）=${∫}_{0}^{1}$f（t）dt-0=${∫}_{0}^{1}$f（t）dt，F（1）=${∫}_{1}^{1}$f（t）dt-f（1）=-f（1）；
因为y=f（x）是区间[0，1]上非负，所以有：F（0）≥0，F（1）≤0
因为F（x）连续，所以在区间（0，1）上必存在x₀∈（0，1），使得F（x₀）=0．
即存在x₀∈（0，1），使得在区间[0，x₀]上以f（x₀）为高的矩形面积，
等于在区间[x₀，1]上以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积．

点评 本题考查连续函数介值定理及函数的单调性判断．需要注意：对于介值定理，题目一般不直接给出函数，需要自己根据需要构造出一个连续函数．