Question

20．已知数列{a_n}是等比数列，S_n为其前n项和，且a₁=2，${a_{n+1}}=3{S_n}+2（{n∈{N^*}}）$，则a₅=512．

Answer 1

分析 根据${a_{n+1}}=3{S_n}+2（{n∈{N^*}}）$来推知数列{a_n}的通项公式，进而求得a₅=512．

解答 解：∵a_n+1=3S_n+2
∴a_n=3S_n-1+2（n≥2），
两式相减可得a_n+1-a_n=3a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=4（n≥2），
由a₁=2，
a₂=3a₁+2=8，
由等比数列的通项公式可得：a_n=2•4^n-1．
则a₅=2•4⁴=512．
故答案是：512．

点评 本题主要考查等比数列的通项公式的计算，根据数列项和前n项和之间的关系是解决本题的关键．