Question

19．△ABC中，a、b、c分别为A、B、C所对的边，如果a、b、c成等差数列，B=30°，△ABC的面积为 $\frac{3}{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 由等差中项的性质列出方程后，两边平方并化简，由条件和三角形的面积公式求出ac的值，结合方程和余弦定理求出b的值．

解答 解：因为a、b、c成等差数列，所以2b=a+c，
两边平方得：a²+c²=4b²-2ac，
因为△ABC的面积为$\frac{3}{2}$，且B=30°，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsin B=$\frac{1}{4}$ac=$\frac{3}{2}$，得ac=6．
代入得，a²+c²=4b²-12．
由余弦定理得，cos B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{4{b}^{2}-12-{b}^{2}}{2×6}$=$\frac{{b}^{2}-4}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得b²=4+2$\sqrt{3}$=$（1+\sqrt{3}）^{2}$，
又b＞0，所以b=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理，等差中项的性质，以及三角形的面积公式的应用，考查化简、变形能力．