Question

14．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$均为单位向量，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 推导出（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=-3cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，由此能求出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$均为单位向量，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$2{\overrightarrow{a}}^{2}-3\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^{2}$
=-3×$1×1×cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=-3cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{6}$．
∴向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查向量的夹角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量数量积公式的合理运用．