Question

（1）“数列{a_n}为等比数列”是“数列{a_na_n+1}为等比数列”的充分不必要条件．
（2）“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数”的充要条件．
（3）已知命题p₁：?x∈R，使得x²+x+1＜0；p₂：?x∈[1，2]，使得x²-1≥0．则p₁∧p₂是真命题．
（4）设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若a=1，b=

3

．则A=30°是B=60°的必要不充分条件．
其中真命题的序号是

 

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：（1），利用等比数列的定义可判断“数列{a_n}为等比数列”是“数列{a_na_n+1}为等比数列”的充分条件，通过举例，说明“不必要条件”成立，从而可判断（1）；
（2），举例如a=1时，f（x）在区间[2，+∞）为增函数，可判断（2）．
（3），易知命题p₁：?x∈R，使得x²+x+1＜0为假命题；p₂：?x∈[1，2]，使得x²-1≥0为真命题，利用复合命题的性质可知p₁∧p₂是假命题，可判断（3）；
（4），利用正弦定理与及充分必要条件的概念，可判断（4）．

解答： 解：对于（1），数列{a_n}为等比数列，设其公比为q，则

an+1an+2

anan+1

=q²为定值，数列{a_na_n+1}为等比数列，充分性成立；
反之，若数列{a_na_n+1}为等比数列成立，例如数列1，3，2，6，4，12，8…满足数列{a_na_n+1}为等比数列，但数列{a_n}不为等比数列，
故“数列{a_n}为等比数列”是“数列{a_na_n+1}为等比数列”的充分不必要条件，故（1）正确；
对于（2），例如a=1时，f（x）在区间[2，+∞）为增函数，所以）“a=2”不是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）为增函数”的充要条件，故（2）不对；
对于（3），由于x²+x+1=（x+

1

2

）²+

3

4

＞0恒成立，故命题p₁：?x∈R，使得x²+x+1＜0为假命题；
p₂：?x∈[1，2]，使得x²-1≥0，为证明题，故p₁∧p₂是假命题，即（3）错误；
对于（4），设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若a=1，b=

3

．则A=30°是B=60°的必要不充分条件．
因为a=1．b=

3

，若A=30°”成立，由正弦定理

1

sin30°

=

3

sinB

，所以sinB=

3

2

，所以B=60°或120°，
反之，若“B=60°”成立，由正弦定理得

1

sinA

=

3

sin60°

，得sinA=

1

2

，因为a＜b，所以A=30°，
所以A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件．故（4）对；
综上所述，真命题的序号是①④，
故答案为：①④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查等比关系的判断，考查复合命题、正弦定理及充分必要条件的理解与应用，属于中档题．