题目内容

给定：an=logn+1（n+2）（n∈N*），定义使a1．a2．a3ak为整数的数k（k∈N*）叫做数列{an}的“企盼数”，则区间[1，2013]内所有“企盼数”的和为（　　）
A、2026B、2024
C、2028D、2014
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2（k+2），再根据a1•a2•a3…ak为整数，得k=2n-2，由区间[1，2013]确定n的取值，求出所有的企盼数的和．
解答： 解：∵an=logn+1（n+2）=
log2(n+2)
log2(n+1)
，（n∈N*），
∴a1•a2•a3…ak=
log23
log22
•
log24
log23
•
log25
log24
…
log2(k+2)
log2(k+1)
=log2（k+2），
又∵a1•a2•a3…ak为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2；
又k∈[1，2013]，∴1≤2n-2≤2013，∴取2≤n≤10；
∴区间[1，2013]内所有的企盼数的和为：
M=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）=
22-211
1-2
-2×9=2026；
故选：A．
点评：本题考查了新定义下的数列求和、换底公式以及叠乘法等知识，是易错题目．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，已知a1=2，an+1=an+n，则a20=
 
．
（1）“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件．
（2）“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数”的充要条件．
（3）已知命题p1：?x∈R，使得x2+x+1＜0；p2：?x∈[1，2]，使得x2-1≥0．则p1∧p2是真命题．
（4）设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若a=1，b=
3
．则A=30°是B=60°的必要不充分条件．
其中真命题的序号是
 
（写出所有真命题的序号）
在线性约束条件
x-y≥0
3x-y-6≤0
x+y-2≥o
下，目标函数z=2x+y的最小值是．（　　）
A、9B、2C、3D、4
设集合A={1，sinx-y}，B={y-cosx，1}，且A=B，求：
（1）y=f（x）的解析表达式；
（2）y=f（x）的最小正周期和最大值．
已知向量
a
=（1，-1），
b
=（1，k）．
（1）若
a
⊥
b
，求实数k的值；
（2）若＜
a
，
b
＞=
π
3
，求实数k的值．
已知函数f（x）=ex，则f′（1）=
 
．
若α∈（0，2π），且sinα+cosα=-
7
5
，则tanα=（　　）
A、±
3
4
B、
3
4
或
4
3
C、
4
3
D、±
4
3
已知命题：?x＜0，0＜2x＜1，则￢p为（　　）
A、?x＜0，2x≤0或2x≥1
B、?x≥0，2x≤0或2x≥1
C、?x≥0，0＜2x＜1
D、?x＜0，2x≤0或2x≥1

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