Question

在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝PA＝aBC(a＞0)．

(Ⅰ)当a＝1时，求证：BD⊥PC；

(Ⅱ)若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A－PD－Q的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)当时，底面为正方形， 　　又因为，面　　2分 　　又面 　　　　3分 　　(Ⅱ)因为两两垂直，分别以它们所在直线为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示， 　　则　　4分 　　设，则 　　要使，只要 　　所以，即　　6分 　　由此可知时，存在点使得 　　当且仅当，即时， 　　边上有且只有一个点，使得 　　由此可知　　8分 　　设面的法向量 　　则即解得　　10分 　　取平面的法向量 　　则的大小与二面角的大小相等 　　所以 　　因此二面角的余弦值为　　12分