Question

【题目】在四棱锥中，平面平面.底面为梯形，，，且，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）由面面垂直的性质可得平面，再利用线面垂直的性质即可得证；

（2）建立空间直角坐标系后，表示出各点坐标，求出平面的一个法向量是，平面的一个法向量为，利用即可得解；

（3）利用反证法，假设棱上存在点，，由题意，，设可得，此方程无解，故假设错误，即可得证.

（1）证明：因为平面平面， 平面平面，

平面， ，

所以平面，

又因为平面，

所以.

（2）因为，，所以.

由（1）得平面，所以，

故，，两两垂直.

如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，.

因为平面，所以平面的一个法向量是.

而，，

设平面的一个法向量为，

则由 得 取，有，

所以.

由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

（3）证明：假设棱上存在点，，设.

依题意，可知，，，

所以，，设，

根据假设，有 ，而此方程组无解，故假设错误，问题得证.