Question

11．若函数f（x）=|x-1|+2|x-a|．
（I）当a=1时，解不等式f（x）＜5；
（II）f（x）的最小值为5，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）当a=1时，函数f（x）=3|x-1|，由f（x）＜5，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{3x-3＜5}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-3x＜5}\end{array}\right.$②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
（II）当a=1时，f（x）=3|x-1|，它的最小值为0，不满足f（x）的最小值为5；再分当a＜1时、当a＞1时两种情况，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为5，求得a的值．

解答 解：（I）当a=1时，函数f（x）=|x-1|+2|x-1|=3|x-1|，由f（x）＜5，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{3x-3＜5}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-3x＜5}\end{array}\right.$②，
解①求得1＜x＜$\frac{8}{3}$，解②求得-$\frac{2}{3}$＜x≤1，
综上可得，不等式f（x）＜5的解集为{x|-$\frac{2}{3}$＜x＜$\frac{8}{3}$}．
（II）当a=1时，f（x）=3|x-1|，它的最小值为0，不满足f（x）的最小值为5．
当a＜1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a+1-3x，x＜a}\\{x+1-2a，a≤x≤1}\\{3x-1-2a，x＞1}\end{array}\right.$，故当x=a时，函数f（x）取得最小值为f（a）=|a-1|=1-a，
由1-a=5，求得a=-4．
当a＞1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+2a-3x，x＜1}\\{2a-1-x，1≤x≤a}\\{3x-2a-1，x＞a}\end{array}\right.$，故当x=a时，函数f（x）取得最小值为f（a）=|a-1|=1-a，
由1-a=5，求得a=-4（舍去）．
综上可得，a=-4．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，利用单调性求函数的最小值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．