Question

10．经过函数$y=\frac{1}{x}$上一点M引切线l与x轴、y轴分别交于点A和点B，O为坐标原点，记△OAB的面积为S，则S=2．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀）为$y=\frac{1}{x}$上任一点，过点P作曲线C的切线l，利用导数可求得切线l的斜率及方程，从而可求得l与两坐标轴交于A，B两点的坐标，继而可求△OAB的面积．

解答 解：设P（x₀，y₀）为$y=\frac{1}{x}$上任一点，则y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$．
∵y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，设过$y=\frac{1}{x}$上一点P的切线l的斜率为k，
则k=-$\frac{1}{{x}_{{0}^{2}}}$，
∴切线l的方程为：y-y₀=-$\frac{1}{{x}_{{0}^{2}}}$（x-x₀），
∴当x=0时，y=$\frac{1}{{x}_{0}}$+y₀=$\frac{2}{{x}_{0}}$，即B（0，$\frac{2}{{x}_{0}}$）；
当y=0时，x=y₀•x₀²+x₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x₀²+x₀=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$×|2x₀|•|$\frac{2}{{x}_{0}}$|=2．
故答案为：2

点评 本题考查利用导数求过$y=\frac{1}{x}$上一点P的切线l的斜率，考查直线的方程及截距，考查三角形的面积公式，属于中档题．