Question

已知函数f（x）是定义域为R的单调减函数，且是奇函数，当x＞0时，f（x）=

x

3

-2^x
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于t的不等式f[lg（t+1）]+f[1-lgt]＜0．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数的性质求出f（x）的解析式；（2）由函数的单调性解不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0；
当x＜0时，-x＞0，则
f（x）=-f（-x）=-（-

x

3

-2^-x）
=

x

3

+2^-x
∴f（x）=

x 3 -2x，x＞0 0，x=0 x 3 +2-x，x＜0

，
（2）∵f[lg（t+1）]+f[1-lgt]＜0，
∴f[lg（t+1）]＜f[lgt-1]，
∵f（x）是定义域为R的单调减函数，
∴lg（t+1）＞lgt-1，
∴

t

10

＞0，t+1＞0，且t+1＞

t

10

；
解得，t＞-1．
∴不等式的解集是（-1，+∞）．

点评：本题考查了奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．