题目内容
13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为单位问量，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$．向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与向量$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{6}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最大值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | 1 | C． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | D． | 2 |
分析 由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，可得$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．由向量$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为单位问量由向量夹角为$\frac{π}{6}$，可得∠ACB=$\frac{π}{6}$．由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．因此：当AC时是弧 $\widehat{AB}$所在圆（上述圆弧）的直径时，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值|AC|．
解答 
解：∵由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，可得$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．由向量$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为单位问量
∴1×1×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$．
设 $\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．
∵向量 $\overrightarrow{c}$满足 $\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与 $\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为 $\frac{π}{6}$，
∴∠ACB=$\frac{π}{6}$．
由等边三角形OAB，点C在AB外且∠ACB为定值，可得C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是AB所对的圆周角．
可知：当AC时是弧 $\widehat{AB}$所在圆（上述圆弧）的直径时，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值|AC|，
在△ABC中，由正弦定理可得：AC=$\frac{AB}{sin30°}$=2．
∴|，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|取得最大值|AC|取得最大值是2．
故选：D．
点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量的减法运算及其几何意义、圆的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | 2 | C． | $2\sqrt{2}$ | D． | 4 |
| A． | [-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$] | B． | [$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$] | C． | [-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$] | D． | [$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]] |
设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（ ）| A． | f（-$\frac{3π}{4}$）＜f（$\frac{5π}{3}$）＜f（$\frac{7π}{6}$） | B． | f（-$\frac{3π}{4}$）＜f（$\frac{7π}{6}$）＜f（$\frac{5π}{3}$） | C． | f（$\frac{5π}{3}$）＜f（$\frac{7π}{6}$）＜f（-$\frac{3π}{4}$） | D． | f（$\frac{5π}{3}$）＜f（-$\frac{3π}{4}$）＜f（$\frac{7π}{6}$） |