Question

9．设sinθ+cosθ=k．
（1）若θ是锐角，证明k＞1；
（2）若k=$\frac{1}{5}$，且0＜θ＜π，求cosθ-sinθ的值；
（3）若k=1，求sin⁴θ+cos⁴θ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得sinθ＞0，cosθ＞0，将sinθ+cosθ=k两边平方可得1+2sinθcosθ=k²．解得k＞1，得证．
（2）由已知解得2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$＜0，由0＜θ＜π，sinθ＞0，可得：cosθ＜0，由cosθ-sinθ=-$\sqrt{（{cosθ-sinθ）}^{2}}$=-$\sqrt{1-2sinθcosθ}$即可求值．
（3）将两边平方，再根据根据同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得cos⁴θ+sin⁴θ的值．

解答 解：（1）证明：∵θ是锐角，sinθ＞0，cosθ＞0，
∴sinθ+cosθ=k＞0．
∴两边平方可得：sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=k²，即1+2sinθcosθ=k²＞1，可得k＞1，得证．
（2）∵sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，
∴1+2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，解得2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$＜0，
∵0＜θ＜π，sinθ＞0，可得：cosθ＜0，
∴cosθ-sinθ=-$\sqrt{（{cosθ-sinθ）}^{2}}$=-$\sqrt{1-2sinθcosθ}$=-$\sqrt{1-（-\frac{24}{25}）}$=-$\frac{7}{5}$．
（3）∵sinθ+cosθ=k=1，
∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=1，解得：sinθcosθ=0，
∴cos⁴θ+sin⁴θ=（sin²θ+cos²θ）²-2sin²θcos²θ=1-2×0²=1．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．