Question

【题目】已知函数(e为自然对数的底数)．

(I)若的单调性；

(II)若，函数内存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).

【解析】

（I）定义域为，且，利用导函数讨论可得：当时，单调递减；当时，在上单调递减，在单调递增．

（Ⅱ）由函数的解析式可得，令，分类讨论，和三种情况可得实数a的取值范围是.

（I）定义域为

故则

(1)若，则在上单调递减；

(2)若，令.

①当时，则，因此在上恒有，即在上单调递减；

②当时，，因而在上有，在上有；因此在上单调递减，在单调递增.

综上，(1)当时，在上单调递减；

(2)当时，在上单调递减，在单调递增．

（Ⅱ）设,

，设，

则．

(1)若,

在单调递减，

故此时函数无零点，不合题意.

(2)若,

①当时，，由（1）知对任意恒成立，

故，对任意恒成立，

②当时,

，

因此当时必有零点，记第一个零点为，

当时，单调递增，.

由①②可知，当时，必存在零点.

(2)当，考察函数，

由于

在上必存在零点.设在的第一个零点为，则当时，，故在上为减函数，

又，

所以当时，，从而在上单调递减，故当时恒有.即，

令，则在单调递减，在单调递增.即注意到，

因此，

令时，则有，

由零点存在定理可知函数在上有零点，符合题意.

综上可知，的取值范围是.