题目内容
已知函数f（x）=ax3，对任意的x1，x2，满足x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），若f（1+2a）+f（2+a）＞0，则实数a的取值范围是 ．
考点：函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：由题意可得函数在定义域内是减函数，再根据函数f（x）为奇函数，故有f（1+2a）+f（2+a）＞0，可得f（1+2a）＞f（-2-a），由1+2a＜-2-a，求得a的范围．
解答：
解：由x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），可得（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0，
故函数在定义域内是减函数．
再根据函数f（x）=ax3 为奇函数，f（1+2a）+f（2+a）＞0，可得f（1+2a）＞-f（2+a）=f（-2-a），
∴1+2a＜-2-a，求得a＜-1，
故答案为：（-∞，-1）．
故函数在定义域内是减函数．
再根据函数f（x）=ax3 为奇函数，f（1+2a）+f（2+a）＞0，可得f（1+2a）＞-f（2+a）=f（-2-a），
∴1+2a＜-2-a，求得a＜-1，
故答案为：（-∞，-1）．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题．
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