Question

若数列{a_n}存在一个常数M，使得对任意的n∈N^*，都有|a_n|≤M，则称{a_n}是有界数列，下列数列中不是有界数列的是（　　）

• A、a_n=2+sinnx
• B、an=

  1

  2n

• C、an=(

  1

  4

  )n+(

  1

  2

  )n+1
• D、an=

  1 n ，n=2k (-2)n，n=2k-1

Answer 1

分析：A．对于?x∈R，则|sinx|≤1，可得|a_n|≤2+|sinx|=3，即可判断出是否是有界数列；
B.an=

1

2n

是关于n的单调递减数列，即可判断出是否是有界数列；
C．由于(

1

4

)n与(

1

2

)n都是单调递减数列，即可判断出是否是有界数列；
D．当n=2k-1时，|an|=|(-2)n|=2ⁿ是一个无界数列．

解答：解：A．对于?x∈R，则|sinx|≤1，∴|a_n|≤2+|sinx|=3，{a_n}是有界数列；
B.an=

1

2n

是关于n的单调递减数列，∴|a_n|=a_n≤a₁=

1

2

，{a_n}是有界数列；
C．由于(

1

4

)n与(

1

2

)n都是单调递减数列，
∴|a_n|=a_n≤

1

4

+

1

2

+1=

7

4

．∴{a_n}是有界数列；
D．当n=2k-1时，|an|=|(-2)n|=2ⁿ是一个无界数列．
综上可知：只有D是一个无界数列．
故选：D．

点评：本题考查了新定义、数列的单调性、三角函数的单调性，属于基础题．