Question

设数列{a_n}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
（Ⅰ）若a₁=4，d=2，求证：该数列是“封闭数列”；
（Ⅱ）试判断数列an=2n-7(n∈N*)是否是“封闭数列”，为什么？
（Ⅲ）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d=1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使

137

150

＜

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S2011

＜

11

9

．若存在，求{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）求出数列的通项，利用定义验证可得结论；
（II）利用定义，可得a_n=a₁+a₂=-8，即n=-

1

2

，从而可得结论；
（III）确定a₁=p-m-n+1为整数，分类讨论，即可得出结论．

解答：（I）证明：∵a₁=4，d=2，
∴a_n=2n+2，
对任意的m，n∈N₊，有a_m+a_n=2（m+n+1）+2
于是，令p=m+n+1，则有a_p=2p+2∈{a_n}；
（II）解：∵a₁=-5，a₂=-3
∴a₁+a₂=-8，
令a_n=a₁+a₂=-8，∴n=-

1

2

，
∴数列an=2n-7(n∈N*)不是封闭数列；
（III）解：由{a_n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N₊，必存在p∈N₊，使a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，于是有a₁=p-m-n+1为整数，
又∵a₁＞0
∴a₁是正整数．
若a₁=1则Sn=

n(n+1)

2

，所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S2011

=2(1-

1

2012

)＞

11

9

，不符合题意
若a₁=2，则Sn=

n(n+3)

2

，所以，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

S2011

=

2

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

2012

-

1

2013

-

1

2014

)=

11

9

-

2

3

(

1

2012

+

1

2013

+

1

2014

)
而

11

9

-

2

3

(

1

2012

+

1

2013

+

1

2014

)＞

11

9

-

2

3

•

3

2012

=

11

9

-

1

1006

＞

137

150

，
所以符合
若a₁=3，则Sn=

n(n+5)

2

，所以

1 S1 + 1 S2 +…+ 1 S2011 = 2 5 (1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 - 1 2012 - 1 2013 - 1 2014 - 1 2015 - 1 2016 ) = 137 150 - 2 5 ( 1 2012 + 1 2013 + 1 2014 + 1 2015 + 1 2016 )＜ 137 150

综上所述，a₁=2，a_n=n+1，显然，该数列是“封闭数列”．

点评：本题考查新定义，考查数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．