题目内容
（2012•江苏一模）设数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N+，存在k∈N+，使得
=an•an+2k成立，则称数列为“Jk型”数列．
（1）若数列{an}是“J2”型数列，且a2=8，a8=1，求a2n；
（2）若数列{an}既是“J3”型数列，又是“J4”型数列，证明：数列{an}是等比数列．
| a | 2 n+k |
（1）若数列{an}是“J2”型数列，且a2=8，a8=1，求a2n；
（2）若数列{an}既是“J3”型数列，又是“J4”型数列，证明：数列{an}是等比数列．
分析：（1）利用数列{an}是“J2”型数列，可得数列{an}的奇数项、偶数项分别组成等比数列，根据a2=8，a8=1，求出数列的公比，即可得到通项；
（2）由题设知，当n≥8时，an-6，an-3，an，an+3，an+6成等比数列；an-6，an-2，an+2，an+6也成等比数列，可得
=
，进而可得
=
，
=q对任意n≥2都成立，由此可得数列{an}为等比数列．
（2）由题设知，当n≥8时，an-6，an-3，an，an+3，an+6成等比数列；an-6，an-2，an+2，an+6也成等比数列，可得
| an+2 |
| an |
| an |
| an-2 |
| an+1 |
| an |
| an |
| an-1 |
| an+1 |
| an |
解答：解：（1）∵数列{an}是“J2”型数列，
∴
=an•an+4
∴数列{an}的奇数项、偶数项分别组成等比数列
设偶数项组成的等比数列的公比为q，
∵a2=8，a8=1，∴q3=
，∴q=
∴a2n=8×(
)n-1=24-n；
（2）由题设知，当n≥8时，an-6，an-3，an，an+3，an+6成等比数列；an-6，an-2，an+2，an+6也成等比数列．
从而当n≥8时，an2=an-3an+3=an-6an+6，（*）且an-6an+6=an-2an+2．
所以当n≥8时，an2=an-2an+2，即
=
于是当n≥9时，an-3，an-1，an+1，an+3成等比数列，从而an-3an+3=an-1an+1，故由（*）式知an2=an-1an+1，
即
=
．
当n≥9时，设q=
，当2≤m≤9时，m+6≥8，从而由（*）式知am+62=amam+12，
故am+72=am+1am+13，从而
=
，
于是
=
=q．
因此
=q对任意n≥2都成立．
因为a42=a1a7，所以q2•
=
•
•
=
=
=
•
•
=q3，
于是
=q．
故数列{an}为等比数列．
∴
| a | 2 n+2 |
∴数列{an}的奇数项、偶数项分别组成等比数列
设偶数项组成的等比数列的公比为q，
∵a2=8，a8=1，∴q3=
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
∴a2n=8×(
| 1 |
| 2 |
（2）由题设知，当n≥8时，an-6，an-3，an，an+3，an+6成等比数列；an-6，an-2，an+2，an+6也成等比数列．
从而当n≥8时，an2=an-3an+3=an-6an+6，（*）且an-6an+6=an-2an+2．
所以当n≥8时，an2=an-2an+2，即
| an+2 |
| an |
| an |
| an-2 |
于是当n≥9时，an-3，an-1，an+1，an+3成等比数列，从而an-3an+3=an-1an+1，故由（*）式知an2=an-1an+1，
即
| an+1 |
| an |
| an |
| an-1 |
当n≥9时，设q=
| an |
| an-1 |
故am+72=am+1am+13，从而
| am+72 |
| am+62 |
| am+1am+13 |
| amam+12 |
于是
| am+1 |
| am |
| q2 |
| q |
因此
| an+1 |
| an |
因为a42=a1a7，所以q2•
| a2 |
| a1 |
| a4 |
| a3 |
| a3 |
| a2 |
| a2 |
| a1 |
| a4 |
| a1 |
| a7 |
| a4 |
| a7 |
| a6 |
| a6 |
| a5 |
| a5 |
| a4 |
于是
| a2 |
| a1 |
故数列{an}为等比数列．
点评：本题考查新定义，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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