Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）
（1）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n
（3）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用递推公式可得a_n=s_n-s_n-1，利用等比数列的定义可求c
（2）由递推公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁求解
（3）假设存在a_s，a_p，a_r成等差数列，则2a_p=a_s+a_r，结合（2）中的通项公式进行推理．

解答：解：（1）由S_n=2a_n-3_n及S_n+1=2a_n+1-3（n+1）得a_n+1=2a_n+3
∴

an+1+3

an+3

=2，∴c=3

（2）∵a₁=S₁=2a₁-3，?∴a₁=3，a_n+3=（a₁+3）•2^n-1∴a_n=3.2ⁿ-3（n∈N^*）
（3）设存在S，P，r∈N^*，且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列∴2a_p=a_s+a_r
即2（3•2^p-3）=（3•2^s-3）+（3•2^r-3）∴2^p+1=2^s+2^r??
∴2^p-s+1=1+2^r-s∵s，p，r∈N^*?且s＜p＜r
∴2^p-s+1、2^r-s为偶数
1+2^r-s为奇数矛盾，不存在满足条件的三项

点评：本题主要考查了数列的递推关系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁的应用及等比数列的定义，而对存在性问题，一般是先假设存在，然后由假设结合已知条件进行推理，看是否产生矛盾，从而判断存在性．