Question

13．已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，且对任意的n∈N^*，均有a_n，S_n，$a_n^2$成等差数列，则a_n=n．

Answer 1

分析 由已知条件推导出2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，从而得到{a_n}是公差为1的等差数列，由此能求出a_n=n．

解答 解：∵各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，
对任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列，
∴2S_n=a_n+a_n²，2S_n-1=a_n-1+a_n-1²，
两式相减，得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
又a_n，a_n-1为正数，∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴{a_n}是公差为1的等差数列，
当n=1时，2S₁=a₁+a₁²，得a₁=1，或a₁=0（舍），
∴a_n=n．
故答案为：n．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，属于中档题．