Question

13．已知函数f（x）=sinx-x，若f（cos²θ+2msinθ）+f（-2-2m）＞0对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，则实数m的取值范围为[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由f（x）=sinx-x可知，f（x）定义域为R，且为奇函数，且为减函数，故f（cos²θ+2msinθ）+f（-2-2m）＞0对任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立
转化为m＞-$\frac{1}{2}$[（1-t）+$\frac{2}{1-t}$-2]在（0，1）上恒成立．

解答 解：由f（x）=sinx-x可知，f（x）定义域为R，且为奇函数；
∵f'（x）=cosx-1≤0，则f（x）在R上单调递减；
f（cos²θ+2msinθ）+f（-2-2m）＞0 即：f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2）；
根据函数单调性有：cos²θ+2msinθ＜2m+2  ①；
 sinθ=t∈（0，1），1-t＞0，①式则：1-t²+2mt＜2m+2；
⇒-1-t²＜2m（1-t）；
⇒m＞$\frac{-1-{t}^{2}}{2（1-t）}$=-$\frac{1}{2}$[（1-t）+$\frac{2}{1-t}$-2]
∵u=（1-t）+$\frac{2}{1-t}$-2 在（0，1）上单调递减，u（0）=1
∴m $≥\\;-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，+∞）

点评 本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及分类参数与函数值域的求法知识点，属中等题．