Question

设函数，，其中实数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；
（3）若与在区间内均为增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）．

试题分析：（1）这是一个三次函数求单调区间的问题，此类问题比较熟悉，三次函数的导数为二次函数，它的零点容易求出，但要注意对零点大小的比较，才能准确写出单调区间；（2）函数与的图象只有一个公共点，知方程只有一个根（含重根），结合有最小值，可求出的取值范围，而是一个二次函数，易得它提最小值，最后可求出的值域；（3）由（1）的过程和结果易知的单调增区间，应是其子区间，再由的单调增区间，也应是其子区间，从而确定的取值范围，要注意分类讨论思想的应用.
试题解析：（1）∵，又
∴当或时，；当时，
∴的递增区间为和，递减区间为．
（2）由题意知
即恰有一根（含重根）∴，即，
又，且存在最小值，所以
又，∴，∴的值域为．
（3）当时，在和内是增函数，在内是增函数，由题意得，解得．
当时，在和内是增函数，在内是增函数，由题意得，解得．
综上可知，实数的取值范围为．