Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F为线段BC₁的中点，E为线段A₁C₁上的动点，则下列命题中正确的序号有

 

①存在点E使EF∥BD₁；
②存在点E使EF⊥平面AB₁C₁；
③存在点E使EF与AD₁所成的角等于90°；
④三棱锥B₁-ACE的体积为定值．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：对于命题①，设存在满足题意的点E，取C₁D₁的中点G，连结GF，由三角形中位线的性质，推出矛盾，即可作出判断；
对于命题②，在平面AB₁C₁内找两条相交直线分别垂直于EF即可；
对于命题③，将AD₁平移至BC₁，只需BC₁⊥EF，易知BC₁⊥平面A₁B₁CD，则只需EF?平面A₁B₁CD，从而可探求点E的存在性；
对于命题④，可考虑三棱锥B₁-ACE的底面积与高是否变化，或列出体积的表达式，即可知体积是否为定值．

解答： 解：对于命题①，取C₁D₁的中点G，连结GF，如图1所示．
∵F为BC₁中点，则FG∥BD₁．
设存在点E，使EF∥BD₁，于是过点F有两条直线与BD₁平行，
∴假设不成立，即不存在点E，使EF∥BD₁，故①为假命题．
对于命题②，若E为A₁C₁的中点，连结A₁B，则EF∥A₁B．如图2所示．
∵AB₁⊥A₁B，∴EF⊥AB₁，
又∵C₁B₁⊥平面A₁B₁BA，AB₁?平面A₁B₁BA，∴C₁B₁⊥A₁B，
∴C₁B₁⊥EF，又AB₁∩C₁B₁=B₁，
∴EF⊥AB₁C₁，故②为真命题．
对于命题③，当E与A₁重合时，连结CE，CB₁，A₁C，则BC₁⊥CB₁．如图3所示．
又EB₁⊥平面B₁C₁CB，B₁C?平面B₁C₁CB，∴EB₁⊥BC₁，
∵EB₁∩B₁C=B₁，∴BC₁⊥平面EB₁C，
∵EF?平面EB₁C，∴BC₁⊥EF，
又∵AD₁∥BC₁，∴AD₁⊥EF，
即存在点E，使EF与AD₁所成的角等于90°．
对于命题④，设AB=a，则S△ACE=

1

2

AC×A1A=

1

2

×

2

a×a=

2

2

a2．
∵三棱锥B₁-ACE的高即为点B₁到平面A₁C₁CA的距离d，为

2

2

a，
∴VB1-ACE=

1

3

S△ACE•d=

1

3

×

2

2

a2×

2

2

a=

1

6

a3，
即三棱锥B₁-ACE的体积为定值，故④为真命题．
综上知，命题中正确的序号有②③④，故答案为②③④．

点评：1．对于点的存在性问题，一般先假设点存在，以此为条件，结合题干，进行推导，若能找到此点，则假设成立，即存在符合题意的点；若得出矛盾，则不存在符合题意的点．
2．对于命题③，也可以由等腰（或等边）三角形A₁BC₁底边BC₁上的中线EF与高线二线合一知，BC₁⊥EF，从而AD₁⊥EF．
3．处理体积是否为定值问题时，一般思路是：列出体积的表达式，再由表达式探究其是否为定值．