Question

11．已知函数f（x）为R上的偶函数，且x≥0时f（x）=-x²+2x，若方程f（x）-a=0有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． [0，1]
• C． （-∞，0）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 求出函数的解析式，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可求实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）为R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=-x²+2x，设x＜0，则-x＞0，
则当x≥0时，f（x）=-x²+2x．
∴f（-x）=-x²-2x．
∴f（x）=-x²-2x，x＜0．
即函数f（x）在（-∞，0）上的解析式f（x）=-x²-2x；
由f（x）-a=0得f（x）=a，
作出函数f（x）的图象如图：
要使f（x）-a=0有四个不同的实数解，
则0＜a＜1，
实数a的取值范围是0＜a＜1．
故选：D．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合考查函数的性质．