Question

已知函数f(x)=

3

sin2x-2sin2x．
（Ⅰ）若点P(1，-

3

)在角α的终边上，求f（α）的值；
（Ⅱ）若x∈[-

π

6

， 

π

3

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为点P(1，-

3

)在角α的终边上，所以sinα=-

3

2

，cosα=

1

2

，化简f（α）
=2

3

sinαcosα-2sin²α，把sinα=-

3

2

，cosα=

1

2

代入运算得到结果．
（Ⅱ） 化简f（x）=2sin(2x+

π

6

)-1，根据x的范围得到 -

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，从而求得f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）因为点P(1，-

3

)在角α的终边上，所以sinα=-

3

2

，cosα=

1

2

，
所以f(α)=

3

sin2α-2sin2α=2

3

sinαcosα-2sin2α=2

3

×(-

3

2

)×

1

2

-2×(-

3

2

)2=-3．
（Ⅱ）f(x)=

3

sin2x-2sin2x=

3

sin2x+cos2x-1=2sin(2x+

π

6

)-1，
因为x∈[-

π

6

， 

π

3

]，所以-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，所以-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
所以f（x）的值域是[-2，1]．

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和值域，三角恒等变换
是解题的关键．