Question

3．如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$+
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AF}$=2，则$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角的余弦值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得 ${\overrightarrow{BC}}^{2}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}$=4，由此求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AF}$=2，以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=1，即可求得$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角的余弦值．

解答 解：由题意可得${\overrightarrow{BC}}^{2}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}$=4，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AF}$=2，以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=1，
可得 $\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}）$+$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}）$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BF}$=1+$\overrightarrow{AB}•（-\overrightarrow{BF}）$$+\frac{1}{2}$$+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BF}$=$\frac{3}{2}+\overrightarrow{BF}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{3}{2}+\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=2，
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=1即 1×2×cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{BC}$＞=1，
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、同时考查了运算求解的能力，属于中档题．