题目内容

12.已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点.
(1)若点Q的坐标为(-1,0),求切线QA,QB的方程;
(2)求四边形QAMB的面积的最小值.

分析 (1)分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求切线QA,QB的方程;
(2)连接QM,则易知四边形QAMB的面积$S=2{S_{△QAM}}=2×\frac{1}{2}×|{QA}||{MA}|=|{QA}|=\sqrt{{{|{QC}|}^2}-1}$,即可求四边形QAMB的面积的最小值.

解答 解:(1)由题意,过点(-1,0),且与x轴垂直的直线显然与圆M相切,此时,切线方程为x=-1
当过点(-1,0)的直线不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,
由$\frac{{|{-2+k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$解得$k=\frac{3}{4}$,此时切线方程为3x-4y+3=0;
(2)连接QM,则易知四边形QAMB的面积S=2S△QAM=2×$\frac{1}{2}×|QA||MA|$=|QA|=$\sqrt{|QM{|}^{2}-1}$.
故当点Q为坐标原点时,${S_{min}}=\sqrt{3}$.

点评 本题考查直线与圆 的位置关系,考查面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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