Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，将它们沿对角线BD折起，折后的C变为C₁，且A、C₁间的距离为2．
（1）求证：平面A C₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角B-AC₁-D的余弦值；
（3）E为线段A C₁上的一个动点，当线段EC₁的长为多少时？DE与平面BC₁D所成的角为30°．

Answer 1

分析：（1）由ABCD是平行四边形，知∠BDC₁=∠ABD=90°，故AB⊥BD，C₁D⊥BD，由此能够证明平面A C₁D⊥平面ABD．
（2）由AB⊥BD，AB⊥C₁D，知AB⊥平面BC₁D，以B为原点，以平行于DC₁的直线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角B-AC₁-D的余弦值．
（3）设

C1E

=λ

C1A

，则

DE

=

DC1

+

C1E

=

DC1

+λ

C1A

=（1，0，0）+λ（-1，-

2

，1）=（1-λ，-

2

λ，λ），利用向量法能够推导出当E为AB的中点时，DE与平面BC₁D所成的角为30°．

解答：解：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴∠BDC₁=∠ABD=90°，
∴AB⊥BD，C₁D⊥BD，
∴AD=BC₁=

3

，
由C₁D=1，AC₁=2，得AC12=C1D2+AD2，
∴C₁D⊥AD，
∴C₁D⊥平面ABD，
∵C₁D?平面AC₁D，
∴平面A C₁D⊥平面ABD．
（2）∵AB⊥BD，AB⊥C₁D，
∴AB⊥平面BC₁D，
∴以B为原点，以平行于DC₁的直线为x轴，
以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，1），D（0，

2

，0），C1(1，

2

，0)，
∴

BA

=(0，0，1)，

BC1

=(1，

2

，0)，

AD

=(0，

2

，-1)，

DC1

=(1，0，0)，
设平面ABC₁的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则

n1

•

BA

=0，

n1

•

BC1

=0，
∴

z1=0 x1+ 2 y1=0

，解得

n1

=（-

2

，1，0）．
设平面ADC₁的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，
则

n2

•

DC1

=0，

n2

•

AD

=0，
∴

x2=0 2 y2-z2=0

，解得

n2

=(0，1，

2

)，
设二面角B-AC₁-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

1

3 • 3

|=

1

3

．
（3）设

C1E

=λ

C1A

，
则

DE

=

DC1

+

C1E

=

DC1

+λ

C1A

=（1，0，0）+λ（-1，-

2

，1）
=（1-λ，-

2

λ，λ），
∵平面ABC⊥平面BCD，∴

BA

=(0，0，1)是平面BCD的一个法向量，
若DE与平面BC₁D所成的角为30°，
则＜

DE

，

BA

＞=60°，
∴cos＜

DE

，

BA

＞=

1

2

，
∵cos＜

DE

，

BA

＞=

DE • BA

| DE |•| BA |

=

λ

(1-λ)2+2λ2+λ2

，
∴

λ

(1-λ)2+2λ2+λ2

=

1

2

，
整理，得1-2λ=0，解得λ=

1

2

．
故当E为AB的中点，即|C₁E|=1时，DE与平面BC₁D所成的角为30°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的位置的判断．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和向量法的合理运用．