题目内容
【题目】如图，长方体
的底面为正方形，
，
，
，
，
是棱
的中点，平面
与直线
相交于点
．
（1）证明：直线
平面
；
（2）求二面角
的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】
（1）推导出
，设点
为
的中点，连接
，
，推导出
平面
，
平面，从而平面
平面，由此能证明
平面；
（2）以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角
的正弦值．
（1）证明：
平面
平面
，
平面
平面
，
平面平面
，
，由题意得
，
设点为的中点，连接，，
是棱
的中点，
，
平面，
平面，
平面，
，
，
，
平面，
平面，
平面，
，
平面平面，
平面
，
平面；
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，，
，
则
，取
，得
，
设平面
的法向量
，
则
，取
，得
，
设二面角的平面角为
，
由
，
，
二面角的正弦值为．
【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下
列联表：
分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
线上学习时间不少于5小时 | 4 | 19 | |
线上学习时间不足5小时 | 10 | ||
合计 | 45 |
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.
（下面的临界值表供参考）
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式
其中
）
