Question

【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左右焦点，过F2的直线交椭圆与A、B两点，∠AF1B＝90°，2，则椭圆的离心率为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由向量的关系可得线段的关系，设|F2A|＝3x，则|F2B|＝2x，由椭圆的定义可得|F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，再由∠AF1B＝90°，由勾股定理可得x的值，进而求出|AF1|，|AB|的值，进而求出∠F1AB的余弦值，由半角公式求出sin，进而求出离心率.

如图所示：

因为2，

设|F2A|＝3x，|F2B|＝2x，|

所以F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，

因为∠AF1B＝90°，

所以（5x）2＝（2a﹣3x）2+（2a﹣2x）2，

解得，

则|F2A|＝a，|AB|，|F1B|a，|F1A|＝a，

所以可得A为短轴的顶点，

在△ABF1中，cos∠F1AB，

所以sin，

则.

故选：B.