Question

3．已知cos（$\frac{π}{2}$+α）+cos（π+α）=-$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$（$\frac{π}{2}$＜α＜π）．求：
（1）sinα-cosα和tanα的值．
（2）若α=2，化简$\sqrt{1-2sin（{π+α}）cos（{π+α}）}$．

Answer 1

分析 （1）把已知等式变形，可得$sinα+cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，两边平方后求得sinαcosα的值，结合已知可得sinα＞0＞cosα，从而得$sinα-cosα=\sqrt{{{（sinα-cosα）}^2}}=\frac{4}{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}sinα-cosα=\frac{4}{3}\\ sinα+cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\end{array}\right.$，求得sinα，cosα的值，则tanα可求；
（2）利用诱导公式变形，然后化为完全平方式，开方得答案．

解答 解：（1）由$cos（{\frac{π}{2}+α}）+cos（{π+α}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{3}$得：$sinα+cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$；
两边平方得：$2sinαcosα=-\frac{7}{9}$，
∵$\frac{π}{2}＜α＜π$，∴sinα＞0＞cosα，
故$sinα-cosα=\sqrt{{{（sinα-cosα）}^2}}=\frac{4}{3}$．
∵$\left\{\begin{array}{l}sinα-cosα=\frac{4}{3}\\ sinα+cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}sinα=\frac{{\sqrt{2}+4}}{6}\\ cosα=\frac{{\sqrt{2}-4}}{6}\end{array}\right.$，则$tanα=-\frac{{9+4\sqrt{2}}}{7}$；
（2）$\sqrt{1-2sin（{π+α}）cos（{π+α}）}$=$\sqrt{1-2sin（{π+2}）cos（{π+2}）}$=|sin2-cos2|，
∵sin2＞0，cos2＜0，
∴$\sqrt{1-2sin（{π+α}）cos（{π+α}）}$=sin2-cos2．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，属中档题．