Question

8．已知函数f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{16}}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用诱导公式及降幂公式变形，再由辅助角公式化简，利用周期公式求得周期；
（Ⅱ）由三角函数的图象变换求得函数g（x）的解析式，由x的范围求得相位的范围，则函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{16}}$]上的值域可求．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx，
得$f（x）=sinωxcosωx+{cos^2}ωx=\frac{1}{2}sin2ωx+\frac{1+cos2ωx}{2}$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
∴$g（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2•2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（4x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
∵$0≤x≤\frac{π}{16}$，∴$\frac{π}{4}≤4x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}$，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（4x+\frac{π}{4}）≤1$，∴$g（x）∈[{1，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}}]$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．