Question

14．已知函数f（x）=x²-2alnx．
（1）求f（x）的极值；
（2）当a＞0时，函数g（x）=f（x）-2ax有唯一零点，试求a的值．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值；
（2）求导数，确定函数的单调性，g（x）=0有唯一解，g（x₂）=0．则x₂²-2alnx₂-2ax₂=0，x₂²-ax₂-a=0，由此求a的值．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{2（{x}^{2}-a）}{x}$．
a≤0时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增，无极值；
a＞0，函数在（0，$\sqrt{a}$）上单调递减，（$\sqrt{a}$，+∞）上单调递增，函数有极小值f（$\sqrt{a}$）=a-alna；
（2）g（x）=x²-2alnx-2ax，
g′（x）=$\frac{2}{x}$（x²-ax-a）．
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，
∴x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$（舍），x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
当x∈（0，x₂ ）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂ ）上是单调递减函数；
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是单调递增函数．
∴当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂ ），
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0．
则x₂²-2alnx₂-2ax₂=0，x₂²-ax₂-a=0，
∴2alnx₂+ax₂-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0时h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程①的解为x₂=1，即$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$=1，解得a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考察了利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．