Question

【题目】设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，且，对一切都成立．

（1）当时，证明数列是常数列，并求数列的通项公式；

（2）是否存在实数，使数列是等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；；（2）存在，．

【解析】

（1）根据数列递推关系可得，即可证明数列是常数列，再进一步求出数列的通项公式；

（2）先根据数列的前3项成等差数列求得，再证明一般性也成立.

解：（1）①当时，，

则，

即．

∵数列的各项均为正数，

∴．

∴，

化简，得，①

∴当时，，②

②-①，得，

∵当时，，∴时上式也成立，

∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，即．

（2）由题意，令，得；令，得．

要使数列是等差数列，必须有，解得．

当时，，且．

当时，，

整理，得，即，

从而，

化简，得，即．

综上所述，可得，．

∴时，数列是等差数列．